2010年考研数学一真题是考研数学一历年真题中的一道典型题目，该题目难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的分析能力。以下是该题目的全面解析及答案解析。
一、题目概述
该题目为一道多项式函数的题目，要求考生求出一组多项式函数的系数，并根据系数求出函数的性质。
二、解题思路
该题目的解题思路主要分为两个步骤：
1. 求出多项式函数的系数
根据题目所给出的条件，我们可以列出如下方程组：
(1) f(0) = 1
(2) f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2
(3) f(1) - f(2) + f(3) - f(4) = 0
(4) f(1) + 2f(2) + 3f(3) + 4f(4) = 4
通过求解上述方程组，我们可以得到多项式函数的系数，具体解法如下：
(1) 由于 f(0) = 1，因此可以得到 a0 = 1。
(2) 由于 f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2，因此可以得到 a1 + a2 + a3 + a4 = 2。
(3) 由于 f(1) - f(2) + f(3) - f(4) = 0，因此可以得到 a1 - a2 + a3 - a4 = 0。
(4) 由于 f(1) + 2f(2) + 3f(3) + 4f(4) = 4，因此可以得到 a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 = 4。
解上述方程组，我们可以得到多项式函数的系数为：
a0 = 1，a1 = 1/2，a2 = 0，a3 = 1/2，a4 = 0。
2. 求出多项式函数的性质
根据多项式函数的系数，我们可以得到多项式函数的表达式为：
f(x) = x - x^3 + x^5 - x^7
由于该多项式函数的系数均为实数，因此该多项式函数为实系数多项式函数。又由于该多项式函数的次数为奇数，因此该多项式函数的图像关于原点对称。又由于该多项式函数的次数为奇数且导数的次数为偶数，因此该多项式函数的图像在原点处有一个拐点。
三、答案解析
根据上述解题思路，我们可以得到该题目的答案为：
多项式函数的系数为 a0 = 1，a1 = 1/2，a2 = 0，a3 = 1/2，a4 = 0。
多项式函数的表达式为 f(x) = x - x^3 + x^5 - x^7。
多项式函数为实系数多项式函数，图像关于原点对称。
多项式函数的图像在原点处有一个拐点。
综上所述，该题目的解题思路较为简单，但需要考生具备扎实的数学基础和较强的分析能力。希望考生们能够通过认真学习和练习，顺利通过考研数学一科目的考试。