一、选择题
)$的值为（ ）
itsits^3$
\alpha$的值为（ ）
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ D. $\sqrt{2}$
\alpha=\dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，故选A。
二、填空题
1.已知$\log_{\frac{1}{2}}(x+1)+\log_{\frac{1}{2}}(x-2)=4$，则$x=$____。
答案：$\dfrac{9}{4}$
解析：化简得：$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-x-2)=4$，移项得：$x^2-x-18=0$，解得：$x=\dfrac{9}{4}$。
C}$，则$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=$____。
答案：$\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
解析：由三角形余弦定理得：
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
代入得：$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。
三、解答题
1.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}+ax+b$，且对于任意实数$x$，都有$f(x+1)-f(x)=2x+3$，求函数$f(x)$的解析式。
答案：$f(x)=x^2+2x+1$
解析：由题目条件得：$f(x+1)-f(x)=\sqrt{(x+1)^2+1}+a(x+1)+b-\sqrt{x^2+1}-ax-b=2x+3$
化简得：$\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x+1)^2+1}}=a$，即$a=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x+1)^2+1}}$
再代入$f(x)$的定义式得：$f(x)=\sqrt{x^2+1}+\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x+1)^2+1}}x+b$
化简得：$f(x)=x^2+2x+1$，故答案为$f(x)=x^2+2x+1$。
2.已知函数$f(x)=\dfrac{kx+b}{x-1}$，且$f(1)=3$，求函数$f(x)$的解析式。
答案：$f(x)=2x+1$
解析：由题目条件得：$f(1)=\dfrac{k+b}{1-1}=3$，即$k+b=0$，解得$k=-b$
再代入$f(x)$的定义式得：$f(x)=\dfrac{-bx+b}{x-1}$，化简得：$f(x)=\dfrac{-b}{x-1}+b$
由$f(1)=3$得：$\dfrac{-b}{1-1}+b=3$，即$b=3$
故答案为$f(x)=\dfrac{-3}{x-1}+3=2x+1$。
以上是，希望对您有所帮助。